باریکه گاؤسی

تعریف: باریکه­های نوری که پروفایل میدان الکتریکی در یک سطح عمود بر محور باریکه با یک تابع گاؤسی تعریف می­شود، ممکن است یک پروفایل فازی سهموی هم به آن اضافه شود. در اپتیک و بخصوص در فیزیک لیزری، باریکه­های لیزری اغلب به صورت باریکه گاؤسی هستتند، که نشات گرفته از اسم ریاضیدان و فیزیکدان به نام جان کارل فردریک گاؤس[۱] می­باشد. پروفایل عرضی شدت اپتیکی یک باریکه با توان P با یک تابع گاؤسی بیان می­شود.
 

 
که w(z) فاصله شعاعی از محور اپتیکی تا جایی است که شدت تا (≈ ۱۳٫۵%) ۱/e² مقدار بیشینه کاهش می­یابد. یک روزنه با شعاع w حدود  ≈ ۸۶٫۵%توان اپتیکی را عبور می­دهد. برای روزنه با شعاع ۲ w این نسبت به ۹۸٫۹% و  ۹۹٫۹۷% افزایش می­یابد. عامل  ۱ / ۲در مخرج رابطه اغلب فراموش می­شود، بنابراین شدت حول محور باریکه کمتر از دو برابر تخمین زده می­شود.
علاوه بر شکل گاؤسی پروفایل شدت، یک باریکه گاؤسی یک پروفایل عرضی فازی دارد که با چندجمله­ای از مرتبه دوم قابل توصیف است. یک تغیییر خطی در فاز در یک راستا به انحراف[۲] پرتو و تغییر مرتبه دوم فازی به واگرایی یا همگرایی باریکه نسبت داده می­شود.
انتشار باریکه­های گاؤسی
باریکه گاؤسی اغلب در حالت­هایی که واگرایی باریکه نسبتا کوچک است مورد توجه است، که در این حالت تقریب پیرامحوری[۳] می­تواند کاربردی باشد. این تقریب موجب حذف اثر تغییرات مرتبه دوم در معادله انتشار می­شود (که از معادله ماکسول بدست می­آید.) و بنابراین یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول بدست می­آید.با این تقریب، با انتشار یک باریکه گاؤسی در فضای آزاد، باریکه همچنان گاؤسی باقی می­ماند و تنها پارامترهای آن تغییر می­کنند. برای یک باریکه تک رنگ انتشار در راستای z با طول موج λ، دامنه مختلط میدان الکتریکی برابر است با:

 
با پیک دامنه  |E₀| و شعاع باریکه w₀ در کمر باریکه، عدد موج k = ۲π / λ، طول ریلی Z_R و شعاع جبهه موج R(z). نوسان میدان الکتریکی حقیقی با ضرب بخش فازی در exp(i ۲π c t / λ) و درنظر گرفتن بخش حقیقی بدست می­آید.

شعاع باریکه در راستای انتشار به صورت زیر است

و طول ریلی

طولی را نشان می­دهد که باریکه بدون واگرایی محسوسی طی می­کند (در متون قدیمی طول هم کانونی مطرح می­شد که دو برابر طول ریلی بود). باریکه موازی (با شعاع باریکه نسبتاً ثابت) طول ریلی بزرگی نسبت به طول انتشارش دارد.

در مکان z = ۰ در رابطه قبل کمر باریکه یا فوکوس باریکه که در آن شعاع باریکه کمینه مقدار خود را دارد و پروفایل فازی تخت است قرار دارد. شعاع انحنای R جبهه موج براساس رابطه زیر تغییر می­کند.

برای عبور از محیط­های شفاف، λ طول موج در محیط است ( و نه طول موج در خلا). از طرف دیگر روابط بالا را می‌توان بدون تغییر با فرض ­ همگن بودن محیط ، ایزتوروپیک و بدون اتلاف بودن بکار برد.

جمله شامل تابع arctan در عبارت میدان الکتریکی شیفت فاز گوی[۴] را بیان می­کند که برای فرکانس­های رزونانسی در مشددهای اپتیکی اهمیت دارد. واگرایی باریکه در میدان دور (برای مقادیر z بسیار بزرگتر از Z_R )

که نشان می­دهد کمر باریکه کوچکتر و طول موج بلندتر، واگرایی بزرگی در نقاط دور از کمر ایجاد می­کند. حاصل ضرب کمر باریکه و واگرایی باریکه در میدان دور یک  باریکه گاؤسی (beam parameter product) برابر است با λ/π، و این یعنی این حاصل ضرب تنها به طول موج بستگی دارد. برای باریکه­های لیزری با کیفیت باریکه غیر ایده­آل، این مقدار بزرگ تر است.
در بررسی پارامترهای باریکه گاؤسی، برای بکار بردن تقریب پیرامحوری لازم است شعاع باریکه در فوکوس نسبت به طول موج بزرگتر باشد. این مسئله بیان کننده آن است که واگرایی باریکه خیلی بزرگ نخواهد بود و قاعدتاً طول ریلی نسبت به شعاع باریکه بزرگ­تر خواهد بود. برای یک باریکه بشدت فوکوس شده، تقریب پیرامحوری کاملاً ارضا کننده نبوده و یک روش بسیار پیچیده برای محاسبه انتشار باریکه لازم است. مقاله مربوط به باریکه­های لیزری پاراگرافی با عنوان ” محدودیت­های فوکوس باریکه­های لیزری” دارد. قوانین ارائه شده در آن برای باریکه­های گاؤسی با  M² factor  بزرگ کاربردی خواهند بود.
پارامتر مختلط
وضعیت یک باریکه گاؤسی در موقعیت z با پارامتر مختلط q توصیف می­شود.

بنابراین میدان الکتریکی مختلط به صورت زیر نوشته می­شود:

انتشار در برخی طول­ها مقدار q پارامتر را در آن طول به راحتی افزایش می­دهد. عبور یک باریکه گاؤسی از برخی المان­های اپتیکی مثل اینه خمیده یا یک لنز با انتقال پارامترهای آن بوسیله یک ماتریس ABCD به صورت زیر بیان می­شود:

باریکه آستیگماتیک
باریکه­های گاؤسی می­توانند شعاع و واگرایی مختلف در دو راستای عمود بر هم x,y داشته­ باشند. معادلاتی مشابه بالا می­توانند برای توصیف تغییرات مستقل از هم شعاع باریکه در هر دو راستا بکار بروند. اگر مکان­های فوکوس برای دو راستا یکسان نباشد، باریکه آستیگماتیک نامیده می­شود.
باریکه­های گاؤسی و مدهای مشدد
مدهای یک مشدد اپتیکی با کمترین مرتبه در مقطع عرضی (TEM₀₀ یا مدهای عرضی پایه نامیده می­شوند.) مدهای گاؤسی هستند. اگر مشدد پایدار باشد، همه محیط­های اپتیکی در مشدد همگن هستند و همه سطوح بین محیط­ها بصورت هموار یا پارابولیک هستند. بنابراین لیزرهایی که تنها مد عرضی پایه را گسیل می­کنند اغلب باریکه­ای مشابه گاؤسی دارند. انحراف از شرایط مذکور با عوامل متعدد، مثل لنزشدگی حرارتی در محیط بهره می­تواند موجب تولید شکل باریکه غیر از گاؤسی شده و یا  موجب نوسان مدهای عرضی مختلف شود. مدهای مرتبه بالاتر با توابع هرمیت-گاؤس[۵] یا لاگر- گاؤس[۶] توصیف می­شوند. در هر حالتی، انحراف از شکل باریکه گاؤسی را با  M² factor می­توان تعیین کرد. یک باریکه گاؤسی با بیشترین مقدار کیفیت باریکه دارای کمترین مقدار ممکن حاصل ضرب پارامتر باریکه است و M² = ۱ است. مدهای انتشار پایه فیبرها کاملاً گاؤسی نیستند، اما از شکل گاؤسی هم خیلی دور نیستند. بنابراین یک باریکه گاؤسی می­تواند به یک فیبر تک مد با بازده بالا (۸۰% یا بیشتر) تزریق شود و اپتیک مناسب و کاربردی را تولید کند.
اهمیت باریکه گاؤسی
اهمیت باریکه گاؤسی بدلیل چند ویژگی خاص است:

• باریکه گاؤسی یک پروفایل شدت گاؤسی در هر نقطه در راستای محور باریکه دارد، بجز آنکه شعاع باریکه تغییر می­کند.
• یک باریکه گاؤسی بعد از عبور از المان­های اپتیکی ساده (مثلاً لنز بدون ابیراهی) همچنان گاؤسی باقی می­ماند.
• باریکه­های گاؤسی پائین­ترین مرتبه از توزیع میدان قائم بذات[۷] هستند که در مشدد اپتیکی ایجاد می­شوند و هیچ المان اپتیکی درون کاواکی موجب خرابی باریکه نمی­شود. به همین دلیل باریکه خروجی بیشتر لیزرها گاؤسی است.
• پروفایل باریکه فیبرهای تک مد اغلب نزدیک به گاؤسی است. حتی در حالت­های با انطباق کمتر، تقریب گاؤسی بدلیل قوانین ساده برای محاسبه انتشار باریکه، رایج است.
• مدهای مرتبه بالاتر، از نوع هرمیت-گاؤسی هستند. این مدها طرح میدانی پیچیده­ای دارند و مقدار حاصل ضرب پارامتر باریکه بزرگ­تری دارند.
• برای باریکه­های با کیفیت باریکه ضعیف، آنالیز مد گاؤسی با M² factor می­تواند بیان شود.