ماتریس ABCD

تعریف: یک ماتریس ۲×۲  که اثر یک المان اپتیکی بر پرتو لیزری را بیان می کند.
یک ماتریس ABCD یا ماتریس انتقال پرتو یک ماتریس ۲×۲ است که به یک المان اپتیکی نسبت داده می شود و می توان برای بیان اثر المان روی پرتو لیزری از آن استفاده کرد. ماتریس های انتقال را می توان هم در اپتیک پرتو که پرتوهای هندسی انتشار می یابند و هم برای انتشار پرتوهای گاؤسی استفاده کرد. برای محاسبات ماتریس ABCD تقریب پیرامحوری لازم است، به عبارت دیگر زاویه انتشار پرتو یا زاویه واگرایی باید بسیار کوچک باشد تا محاسبات دقیق باشند.

اپتیک پرتویی

این مفهوم برای محاسبه انتشار پرتوهایی با شیفت عرضی r و شیفت زاویه q نسبت به یک محور مرجع، توسعه داده شده است (شکل ۱). در این مفهوم زوایا به اندازه کافی کوچک در نظر گرفته می شوند( تقریب پیرامحوری)، بنابراین یک رابطه خطی بین r و q قبل و بعد از المان اپتیکی وجود دارد. معادله بعدی می تواند برای محاسبه تغییرات این پارامترها بوسیله یک المان اپتیکی بکار برود.   که کمیت های پریم دار به انتشار باریکه بعد از عبور از المان اپتیکی اشاره دارند. ماتریس ABCD یک شناسه برای هر المان اپتیکی است. برای مثال یک لنز نازک با فاصله کانونی f ماتریسی به صورت زیر دارد:

این ماتریس نشان می­دهد که جابجایی r بدون تغییر باقی می­ماند در حالیکه جابجایی زاویه θ متناسب با r تغییر می­کند. انتشار در فضای آزاد به طول d با ماتریس زیر بیان می­شود:

که نشان می­دهد زاویه بدون تغییر باقی می­ماند در حالیکه جابجایی باریکه براساس زاویه افزایش یا کاهش می­یابد. مثال­های بیشتر برای ماتریس ABCD در ادامه آمده است. برای حالت­هایی که باریکه از محیط دی الکتریک عبور می­کند، استفاده از بردارهای باریکه که مولفه های پائین تر (زاویه) در ضریب شکست ضرب شده­اند، مناسب خواهند بود. این فرایند بکارگیری ماتریس ABCD را برای حالت­های خاص را ساده‌تر می‌کند.

انتشار پرتوهای گوسی

ماتریس های ABCD برای محاسبه اثر المان های اپتیکی بر پارامترهای پرتو گوسی نیز می توانند استفاده شوند. کمیت رایج برای این منظور پارامتر مختلط q است که شامل اطلاعاتی درباره اندازه لکه پرتو ω و شعاع انحنای جبهه موج R است.

معادله بعدی نشان می دهد چگونه پارامتر q بوسیله یک المان اپتیکی تغییر می کند.

ماتریس ABCD المان­های اپتیکی مهم

در ادامه لیست ماتریس های ABCD مورد استفاده برای المان­های اپتیکی آمده است.
فضای آزاد به طول d :

(اگر تعریف اصلاح شده فوق مورداستفاده قرار گیرد که در آن مؤلفه پایینی (زاویه) در ضریب شکست ضرب می­شود برای انتشار در یک محیط شفاف، طول d به ضریب شکست n تقسیم می­شود؛.)
لنز با فاصله کانونی f (مقدار مثبت f برای یک لنز فوکوس کننده بکار می­رود.)

آینه خمیده با شعاعی انحنای R(مقادیر مثبت R برای آینه مقعر)، زاویه تابش در سطح افقی:

که R_e=Rcosθ در سطح مماسی (راستای افقی) و R_e=R/cosθ در صفحه سهموی (راستای عمودی)
برای یک مجرا با تغییرات شعاعی ضریب شکست

که تغییرات ضریب شکست به صورت زیر است:

کتاب­های مختلف  انواع ماتریس­های ABCD برای انواع مختلف دیگر المان­های اپتیکی را بیان کرده­اند.

ترکیب چند المان اپتیکی

اگر پرتو از چندین المان اپتیکی مجزا عبور کند (حتی عبور از هوای بین المان ها) به این معنی است که بردار (r θ) به ترتیب در ماتریس های متعددی ضرب شده اند. می توان از یک ماتریس به تنهایی استفاده کرد که این ماتریس حاصل ضرب تک تک ماتریس ها است. باید توجه کرد که اولین المان اپتیکی در سمت راست ضرب ماتریس ها باشد.

نمونه‌هایی ازکاربردها

برخی از کاربردهای الگوریتم ماتریس ABCD به صورت زیر می باشند:

• دانستن نحوه انتشار یک پرتو لیزری از برخی چیدمان های اپتیکی اهمیت دارد. با این ماتریس ها هم مسیر هندسی پرتو و هم شعاع پرتو را می توان حساب کرد.
• تغییرات همه پارامترهای پرتو طی یک انتشار کامل در مشدد با استفاده از یک ماتریس ABCD می تواند تشریح شود.
• یک الگوریتم توسعه یافته به صورت ماتریس ABCDEF که ماتریس ۳×۳ با برخی مولفه های ثابت است، میتواند برای محاسبه حساسیت تنظیم یک مشدد لیزری استفاده شود.

روش ماتریسی ABCD نباید با دیگر روش‌های ماتریسی که برای محاسبه ویژگی های بازتاب و عبور از میان پوشش‌های چند لایه دی الکتریک ها بکار می رود، اشتباه گرفته شود.